Meu caro, você é preguiçoso mesmo hein? Cismou com algo (completamente inútil, diga-se de passagem), mas não passou do básico para evoluir a conversa.
Meu amigo, eu te dei a pura definição de dicionário da palavra axioma, mesma definição que diversos livros de matemática também dão. Se você se recusa a aceitar a pura definição da palavra, então não posso fazer nada a respeito.
Realmente quer fazer o argumento que a própria definição nos diferentes dicionários está errada e o único certo é você?
Você perguntou de onde eu tirei a definição de axioma, eu respondi de onde foi.
Não, não respondeu. Nem sequer deu fontes da definição em si, foi uma resposta bem genérica, do estilo (aprendi com a vida).
Mesmo ao citar o livro (que de fato não li, mas já li outros), não citou página e nem colocou a citação da definição dos autores aqui. Não me culpe se o debate não evoluiu sendo que você não foi capaz de fazer o básico.
Axiomas são princípios, hipóteses, definições.
Já ouviu falar de algo chamado "contradição"? pois é...
Se um princípio existe, é óbvio que sua própria existência precisa pressupor em um determinado momento que o mesmo é verdadeiro...
Exemplos: "Princípio da Ação Humana", "Princípio das Vantagens Comparativas", "Princípio de Pareto" e etc...
Se princípios não são nem verdadeiros e nem falsos e muito menos sujeitos a validação, para que um princípio existe? qual o objetivo de existirem se são "coisas ao vento"? são o que? qual a utilidade?
Nem adianta responder "para se fazerem deduções lógicas a partir deles", porque deduções (por definição) necessitam de que assuma um ponto de partida (a proposição anterior necessita ser verdadeira ou falsa).
Essa é apenas uma das 3 "pernas" do Trilema de Münchhausen
Este Trilema diz exatamente aquilo que eu falei lá na minha primeira postagem:
É claro que uma proposição não pode ser absoluta em termos totais pois o conhecimento humano não é perfeito para tal afirmação.
Tá vendo o que a falta de leitura faz?
O que tem a ver a teoria da incompletude aqui?
É exatamente isso, estamos falando de "verdadeiro" ou "falso", em termos práticos.
Mesmo antes da Indução Transfinita, os pilares da aritmética já eram considerados verdades (axiomas), e pelo qual eram feitas diversas deduções. A matemática evoluiu enormemente mesmo sem os conhecimentos mais recentes sobre a questão de um determinado axioma poder ser considerado consistente e em quais condições.
Então você está, novamente, pedindo o impossível. É como eu exigir que você me responda se o azul é maior ou menor do que o verde.
Sério, agora que chegamos até aqui... certeza que estamos falando da mesma coisa?
Digamos que eu assuma que uma determina cor existe e a chame de "Azul". Logo, a afirmação "O Azul existe", é algo que está sujeita a validação (pode ser falsa ou verdadeira).
Outro exemplo seria:
"todos pássaros possuem penas", "o avestruz é um pássaro" -> (implica) "o avestruz possui penas".
Pouco importa se no universo real todos pássaros de fato possuem penas (verdade absoluta), o fato é que a partir de uma determinada proposição cuja validade é aceita como verdadeira, pode se realizar novas deduções dada a validade das anteriores.
Se a proposição "todos os pássaros possuem penas", não for definida como verdadeira ou falsa, ela se torna inútil, pois como eu vou demonstrar a validade da terceira proposição se nenhuma das duas tem a capacidade de serem definidas ou como verdades ou como falsidades?
E até onde sei, toda proposição fora da física quântica, ou é verdadeira ou é falsa, ou é passível de ser uma das duas ... É claro que uma proposição pode não ter sua validade comprovada e seja uma incógnita, mas nunca ouvi falar de proposições que existem em um campo aonde não são nem verdadeiras, nem falsas e nem passíveis de serem uma ou outra... Me ilumine com um exemplo... por favor...
"Azul" não é uma proposição, é só uma palavra solta que nada significa sozinha, ela se torna uma proposição quando digo "Azul é uma cor" ou "Azul é diferente de Verde" e aí sim estas são passíveis de serem verdadeiras ou falsas.
Volto a repetir, pouco importa se no mundo real isso é de fato verdade ou não (validade absoluta), ou sequer se é possível de ser validado no mundo real. O fato é que os axiomas são considerados válidos (ou seja verdadeiros).
Eu te dei o exemplo da entidade matemática "Conjunto", a palavra sozinha nada significa. A partir do momento que eu digo que o mesmo é um axioma, implicitamente estou assumindo que o mesmo é uma verdade. Não estamos falando do mundo real ou da natureza aqui, mas dentro do campo da Matemática ao fazer a proposição "A entidade Conjunto existe" (Ente primitivo) a mesma precisa ser considerada verdadeira para que se possa fazer deduções a partir dos tais.
Indução Transfinita? Sério? Pois ela parte de um axioma também: Se vale pra N menor que K, vale para N=K.
E quando eu afirmei que a Indução Transfinita não partia de um axioma?
Realmente, tá difícil...
p: N>K (primeira proposição)
q : N=K (segunda proposição)
Agora vai me dizer que essas duas proposições acima não são passíveis de serem verdadeiras ou falsas? Vai me dizer que a expressão "se vale para p, então vale para q" não é algo que precisa ser considerado verdadeiro ou falso para as proposições posteriores também serem?
E vamos pegar o tal axioma da escolha:
"o produto de uma coleção não-vazia de conjuntos é não-vazio"
A mesma pode ser considerada verdadeira ou falsa (por ser uma proposição), mas como é um axioma , então assume-se que é válida. (neste caso apenas significa que de fato o produto da coleção não vazia de conjuntos é de fato não vazia)
Volto a repetir mais uma vez... pouco importa se no mundo real o teste de validação é possível de ser feito ou não, assume se que o axioma é verdadeiro pelo simples fato de ser considerado um axioma.
A própria página do axioma no wikipedia diz:
"Assim, a negação do axioma da escolha diz que existe um conjunto de conjuntos não-vazios que não possui função de escolha."
pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_da_escolha
Mas agora eu desisto, na boa... pode continuar acreditando no que quiser.
Sobre a sua pergunta do padeiro, já te dei a resposta na questão anterior, o contrato em si só é válido quando não envolve a coerção de terceiros e afirmei que o padeira em um pagamento a vista não cometeu crime algum.
Mas você ergueu o exemplo do padeiro a partir da questão da dívida pública, e até onde sei, dívida não é pagamento a vista...
Sério, eu tava pensando em fazer um mestrado em matemática, mas você realmente me fez perder a vontade... Se for pra ficar relativista igual você, prefiro deixar quieto. (eu bem que acreditava que era o contrário)