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Matemática na economia: bom ou ruim?
por Bernardo Emerick, terça-feira, 18 de junho de 2013

Como o termo "matemática" é muito amplo, é melhor restringirmos o seu significado para essa discussão. Evidentemente, ninguém acha que matemática básica é algo inútil para a economia. Se A tem dois reais e B tem três, ninguém condenará a conclusão de que A e B juntos têm cinco reais.

O que se questiona é o uso do "cálculo" -- ou, mais precisamente, das ferramentas que a física clássica utilizava -- para a economia. Ou seja, quando atacamos o uso da matemática na economia estamos contra a aplicação do cálculo diferencial e infinitesimal, das equações diferenciais e de métodos geométricos na praxeologia.

A minha defesa dessa tese -- de que essa parte da matemática é inútil à economia quando não positivamente prejudicial -- será feita em diversos níveis de abstração.

Economia e física

É inegável que a aplicação dos métodos matemáticos usados pelos físicos na economia tem como inspiração o próprio triunfo da física como modelo de ciência. A aplicação de poucas leis gerais traduzíveis em equações muito simples e que davam imensa capacidade preditiva mostravam ao mundo as vantagens de uma ciência ancorada no cálculo diferencial e infinitesimal.

Não se deve esquecer que o título da maior obra de física de todos os tempos era Princípios Matemáticos de Filosofia Natural. A física antiga, aristotélica, não era ancorada em equações. As idéias eram colocadas em linguagem natural. A partir de Galileu, sobretudo com Newton, os avanços da física foram sem precedentes.

A física agora tinha uma visão unificada da natureza -- até porque eletromagnetismo na época era um fenômeno mais ou menos irrelevante --, em que se explicava desde o movimento de pêndulos simples às leis de Kepler; da engenharia básica à estabilidade do sistema solar. Laplace chegou a afirmar que bastava que lhe dessem as condições iniciais do universo para que ele desvendasse tudo que ocorreria no universo. O poeta Alexander Pope, parodiando a Bíblia, disse algo assim: "E Deus disse: haja Newton. E houve luz".

Havia, pois, uma confiança natural nos poderes da mecânica newtoniana. É claro que, inspirado nisso, os homens do saber começaram a tentar estender as idéias matemáticas de Newton a todos os outros campos do conhecimento humano. Mesmo quando não aplicavam diretamente a matemática, era a filosofia geral de Newton que dominava. David Hume, por exemplo, diz explicitamente no prefácio do Tratado da Natureza Humana que a sua filosofia é uma tentativa de aplicar os grandes princípios de Newton ao homem.

A essa suposição de que todo o conhecimento humano deva ser baseado nos métodos da mecânica clássica chamaremos de cientificismo.

A pergunta natural que devemos responder é: o cientificismo está certo?

Para responder essa questão, é necessário investigar, ainda que brevemente, o tipo de objeto de conhecimento da economia e compará-lo com o da física. Basicamente, a física se preocupa com a matéria e seu movimento. Donde se conclui que a fonte primária de informações do físico necessariamente é o mundo exterior. A matéria, enquanto tal, não pensa, não tem motivos. Então só observamos o seu comportamento a partir da observação, só após o seu movimento ter ocorrido.

Na praxeologia, a questão é fundamentalmente distinta. O que importa não é o movimento do corpo do agente, o seu gasto de energia nos processos metabólicos e na sua locomoção. O que importa para a ciência da ação humana é a estrutura formal por trás da própria noção do que é ação.

Ação é comportamento teleológico, é a busca de um fim empregando meios que o agente acredita que levarão ao objetivo desejado. A fonte do conhecimento do que é uma ação, portanto, não está na observação do mundo exterior, mas no próprio sujeito de conhecimento.

De um lado, causalidade determinística e observação exterior; do outro, ação motivada e observação interior.

Há ainda uma outra diferença. O mundo natural exterior é marcado por uma observável regularidade. Isso significa que a descrição dos fenômenos é invariável. Um resultado observado no laboratório X será o mesmo observado no laboratório Y. E esses resultados podem ser descritos imediatamente como dados matemáticos. Pois, sendo a preocupação da física o movimento – em sentido restrito – da matéria, os seus dados podem ser analisados via a atribuição de um sistema de referência que possibilite imediatamente uma métrica, i.e., uma noção de distância. Para diferenças de posições, podemos atribuir números.

Portanto, a atribuição quantitativa aos fenômenos físicos surge naturalmente. E a regularidade quantitativa dos fenômenos é o que permite a elaboração de equações para a descrição do mundo natural -- mesmo na mecânica quântica, na qual importam mais distribuições de probabilidade.

Essa atribuição quantitativa não é formal, mas material. Por exemplo, se eu sei qual é o coeficiente de atrito cinético de um determinado plano e faço deslizar sobre ele um objeto com determinadas aceleração e velocidade iniciais, a equação que descreve o movimento desse objeto me dirá explicitamente o ponto em que o objeto ficará parado -- se é que isso irá ocorrer.

Não há a mesma espécie de regularidades nas ações humanas. As pessoas possuem preferências e estas são modificadas sem nenhum padrão. Dependem da vontade de cada indivíduo. Ao contrário dos experimentos laboratoriais da física, indivíduos diferentes agem de forma diferente em experimentos em condições semelhantes. Um mesmo indivíduo pode agir de forma distinta em experimentos semelhantes. Como dizia Ludwig von Mises, "não existem constantes na ação humana".

A regularidade nos fenômenos da ação humana é formal, não material -- como na física. Trata-se meramente de regularidades qualitativas, não quantitativas. Os dados relevantes da praxeologia são juízos de valor. E a juízos de valor não é possível dar uma medida quantitativa objetiva. Logo, o uso de equações não é útil na descrição dos fenômenos da ação humana, exatamente por essa não ser a linguagem apropriada ao objeto de estudo.

Ciência

Toda ciência possui dois aspectos. Uma ciência, para ser ciência, tem que possuir uma qualidade explicativa, na qual se tenta demonstrar o nexo causal dos fenômenos. Por outro lado, a ciência deve ter um aspecto preditivo. Essa é a idéia básica do que seja uma ciência.

A sociedade americana de econometria adotava como lema a frase que dizia que "ciência é fazer previsões". Nessa visão, portanto, o caráter explicativo da ciência é reduzido ao seu aspecto quantitativo. O que implica, por sua vez, uma visão muito restrita da ciência. Aqui, ciência não seria o conhecimento do seu objeto de estudo, mas o conhecimento que se revela por relações quantitativas.

Pelo que foi dito acima, esse ponto de vista implica a inexistência de uma ciência da ação humana, pois esta não pode ser encarada do mesmo modo que a física. O caráter explicativo da praxeologia não é quantitativo, mas qualitativo; é teleológico.

Então, se a econometria é uma pseudociência que só teria uma aspecto (falho) preditivo, poder-se-ia objetar que a praxeologia peca pelo oposto: ao possuir apenas um lado explicativo, não teria à sua disposição a predição. Donde a praxeologia não seria também uma ciência no sentido que usualmente é atribuído a este termo.

O erro de tal objeção é confundir predição com predição quantitativa. Predição pode ser tanto quantitativa quando qualitativa. A redução que se faz do caráter preditivo de uma ciência a aspectos quantitativos -- donde a ferramenta imprescindível de toda ciência ser a matemática, que é a ciência que trata das quantidades por excelência, embora não se reduza a isto -- advém precisamente do cientificismo, que, como foi argumentado acima, é uma filosofia falsa.

Portanto, a praxeologia é uma ciência cujo aspecto qualitativo reside na estrutura formal da ação humana -- não matematizável -- e cujo lado preditivo é qualitativo, não quantitativo.

O uso da matemática na economia

Como foi observado na seção 1, a física tornou-se modelo de ciência pelo seu aspecto preditivo. E o seu aspecto preditivo foi tomado com seu poder explicativo, na medida em que os resultados eram generalizados para uma quantidade enorme de casos. Assim, os próprios princípios da física tornaram-se equações.

Se na praxeologia começamos dizendo que os homens agem, na física começamos dizendo que tais e tais objetos satisfazem determinada equação. É mais do que evidente a diferença qualitativa das ciências, que reflete a diferença dos objetos das respectivas disciplinas e da forma como conhecemos esses objetos.

Porém, uma vez que tentemos matematizar a praxeologia e reduzi-la a uma espécie de mecânica da ação humana, que resultados efetivos poderíamos mencionar em defesa desse procedimento? Se a física como matemática aplicada é imediatamente justificada por seus resultados preditivos, podemos invocar os resultados da economia matemática como defesa da sua existência como ciência?

Antes de tudo, é necessário observar que nem mesmo os economistas levam a sério na prática a economia matemática, mesmo quando são economistas matemáticos. O sistema de equações fundamental do equilíbrio do consumidor diz que o indivíduo maximiza sua utilidade quando a razão entre a utilidade marginal à quantidade consumida de um bem e o seu preço é igual a essa mesma razão para todos os outros bens. Ou seja, se houver n bens, então haverá um sistema de n(n-1)/2 equações diferenciais parciais. Ninguém nunca viu um economista tentando resolver essas equações.

O que significa que os economistas, ao usar a matemática e lhe tentarem dar um aparato preditivo quantitativo, abandonam a fundamentação explicativa da teoria via teoria do comportamento para focar em grandes agregados, aos quais ele não consegue dar uma explicação razoável. Isto é, parte-se para a estatística e para as milhões de regressões.

Pois bem, a estatística funciona muito bem para o passado, mas o fato é que durante um século os economistas tentaram na prática aplicar as suas conclusões econométricas para controlar a economia e falharam.

Em suma, a economia matemática não se justifica do mesmo modo que a física matemática, na medida em que não possui poder preditivo.

A matemática, o espaço e a economia

Conforme já foi dito, o cálculo é muito apropriado à física, pois é possível estabelecer muito naturalmente duas das unidades fundamentais desta ciência: tempo e espaço. Nós sentimos o tempo passar continuamente, de modo que estabelecemos com fundamentação que o tempo corre continuamente. Por outro lado, os matemáticos fazem a suposição de que o conjunto dos reais pode ser representado como uma reta.

Assim, o físico tem bons motivos para considerar o movimento como função em espaços vetoriais reais, que é o ambiente mais apropriado para a formulação do cálculo diferencial e infinitesimal.

O físico, então, interpreta o movimento dos objetos como sendo variações das posições de pontos num espaço. Ou seja, ele iguala o espaço real com o espaço matemático. Portanto, uma vez fixada a unidade de medida do espaço, as descrições matemáticas correspondem – caso estejam corretas – aos fenômenos reais observados. Isso acontece porque, como já foi colocado antes, os próprios princípios da física são equações básicas nesse próprio espaço em que ele trabalha.

Na economia, as coisas não são assim. Por exemplo, se estamos tratando da teoria de produção, as unidades não são divisíveis. As quantidades devem ser sempre números naturais, de modo que não se tem um ambiente favorável ao cálculo diferencial e infinitesimal. As funções de produção não contínuas na topologia usual do espaço euclidiano n-dimensional, não sendo, pois, diferenciáveis, e tampouco são integráveis (à Lebesgue), uma vez que o conjunto dos pontos de descontinuidade não tem medida nula.

O caso da produção numa economia monetária seria o mais favorável possível à formulação matemática, mas, como acabamos de mostrar, os métodos do cálculo diferencial e infinitesimal são simplesmente inaplicáveis. A única forma de usá-los seria não com uma simplificação da realidade, mas por uma deliberada falsificação dela. Nenhuma ciência pode ser considerada como tal se busca a mentira por vontade própria.

O caso é ainda mais dramático no caso da teoria do consumidor -- ou, se fôssemos generalizar, para a teoria da ação humana em geral --, já que é simplesmente estabelecer as relações algébricas usuais para utilidade. Não faz sentido adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir utilidades. Não se pode sequer atribuir uma estrutura de espaço vetorial -- ou, ainda mais geralmente, de módulo -- ao conjunto das utilidades, muito menos tentar criar cálculo diferencial.

Matemática como ilustração

Complementando o argumento acima, não se pode criar uma álgebra com as operações usuais para utilidade. Qualquer um que se aventure a pegar um livro-texto de microeconomia, encontrará no começo, provavelmente no primeiro capítulo, alguma seção explicando que utilidade é ordinal, não cardinal; que não faz sentido fazer comparações interpessoais de utilidade. No entanto, provavelmente na seção seguinte, ele encontrará alguma curva de indiferença, que supõe que as pessoas não ordenam os bens numa escala de preferência.

Sem discutir esse procedimento ilegítimo que é o uso de curvas de indiferença, o autor do livro-texto basicamente atribuirá níveis de utilidade, aos quais fará corresponder algum número. Ou seja, primeiro ele diz que não é possível atribuir uma medida à utilidade, mas logo em seguida finge esquecer o que disse e atribui medida, mesmo sem lhe dar um significado realista. A justificativa é que é mera ilustração.

Antes de tudo, é preciso notar que ilustrar uma teoria não pode ser feita através de algo falso. Ilustrar uma teoria é dar-lhe um exemplo em que ela realmente seja aplicável, embora num contexto bastante simplificado. Por exemplo, quando um físico quer explicar o princípio da relatividade, ele cita o caso de uma pessoa no leito de uma ferrovia e outra dentro de um trem. Agora, não faria sentido dizer que o movimento de carro é uma ilustração da dualidade matéria/onda da luz.

Quando o economista utiliza o cálculo, ele não está fazendo uma ilustração, mas está jogando fora as proposições verdadeiras anteriores para adotar algo que ele sabe ser falso. Ele está substituindo uma teoria por outra, uma teoria melhor por uma pior.

E qual não será a surpresa do leitor atento ao perceber que, de repente, toda a teoria que é desenvolvida nos capítulos ulteriores será justamente a aplicação daquela "ilustração"! Por fim, não será raro encontrar até comparações interpessoais de utilidade. A chamada economia do bem-estar, por exemplo, tem como seu fundamento essa suposição, embora ela seja sempre tomada implicitamente.

A linguagem matemática como forma de evitar erros

Uma defesa dos métodos matemáticos na economia é que a linguagem matemática, por ser mais formal, acabaria facilitando a identificação de erros no raciocínio, de modo que seria uma forma de evitar erros lógicos. Esse argumento não deixa de ser irônico. Para evitar um erro acidental, justifica-se um erro essencial!

No entanto, sendo este argumento de ordem pragmática, não precisamos mostrar o seu descabimento filosófico. Na prática, a economia matemática tem sido fonte de acertos ou de erros? Bem, a maior parte das políticas econômicas adotadas no século XX tiveram como base de sustentação teorias econômicas fortemente calcadas em equações. Como essas políticas, em geral, foram desastrosas, podemos dar duas explicações diferentes -- apesar de não serem mutuamente exclusivas: i) houve erros matemáticos ou ii) houve erros nos fundamentos da teoria.

Já sabemos que as teorias econômicas matemáticas são falsas por falsificarem deliberadamente a realidade. O melhor, então, que a economia matemática pode fazer é nos assegurar que provavelmente os erros da sua fundamentação serão carregados nas deduções das equações!

Equilíbrio de Nash

Por último, comentarei um pouquinho sobre teoria dos jogos, que, aparentemente, estaria livre de alguns excessos da economia matemática. A teoria dos jogos não é exatamente uma teoria que usa os métodos matemáticos aplicados à física. Então poderia ser um ramo da economia válido que exigiria um maior conhecimento de matemática.

O resultado mais importante da teoria dos jogos é o Teorema de Nash, que diz que em todo jogo não-cooperativo com um número finito de jogadores com estratégias mistas há pelo menos um equilíbrio de Nash.

Do ponto de vista matemático, eu não tenho nada a objetar. A demonstração feita por Nash na sua tese de doutorado me parece válida. Não encontrei nenhum erro e, tendo ela sido aprovada, devemos considerar aqui que realmente ela esteja correta do princípio ao fim.

Então qual seria a minha "implicância" com o equilíbrio de Nash? Na verdade, nenhuma. A minha implicância é com o uso que se faz desse resultado em teoria econômica. O problema do teorema de Nash é que ele não é aplicável à realidade.

A demonstração do Teorema feita por Nash utiliza noções de topologia. O que nos interessa aqui é uma observação. Suponha que haja n estratégias puras disponíveis a um jogador. Então o espaço de todas as estratégias para esse jogador é o conjunto S = {(p_1,p_2,...,p_n): p_1+p_2+...+p_n = 1 e p_i >=0, para todo i e p_i sendo número real}. Atribuindo a cada eixo de um espaço real euclidiano n-dimensional uma estratégia pura, então isso será um politopo n-dimensional. Por exemplo, se n=2, haverá um triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1) e as estratégias do jogador será qualquer ponto na reta que liga os vértices (1,0) e (0,1). A partir daí, define-se uma função pay-off para cada jogador P : S --> R, R é o conjunto dos reais.

Qual a importância disso? Além do problema óbvio de que a função pay-off terá que ser uma função de utilidade caso tenha alguma aplicação praxeológica -- e isso não faz sentido --, existe uma suposição que é "ilegítima" de que as probabilidades podem ser números reais quaisquer entre 0 e 1. Por exemplo, se num jogo, eu escolho as minhas estratégias mistas apostando dinheiro em cada uma delas, então as probabilidades estão condicionadas pela divisibilidade do dinheiro.

Se eu tenho que apostar 1 real em três estratégias, eu posso fazer uma escolha de apostar 10 centavos em uma, 28 centavos em outra e 62 centavos na restante. É claro, o número de apostas possíveis é imenso -- mas é finito. Então, nesse caso, o Teorema de Nash é inaplicável.

Não custa nada dizer: só se pode garantir a conclusão de um teorema de as hipóteses dele forem satisfeitas. Ora, em economia, dinheiro sempre tem divisibilidade finita. Logo, a hipótese de Nash nunca é satisfeita e, assim, o teorema nunca é aplicável na realidade.

O que estamos ressaltando aqui é que o uso da matemática na economia é totalmente inválido. Nenhum economista discute o que eu acabei de colocar. Procurem nos livros de economia se há alguma discussão sobre a validade do Teorema de Nash na economia. Simplesmente ninguém fala disso. A matemática é uma ciência rigorosa.

O que os economistas têm feito é agir como sanguessugas da matemática. Como esta é uma ciência prestigiada, o economista pega um teorema que possui uma demonstração rigorosa, no entanto aplicando-o a uma situação sobre a qual ele não diz respeito!

Alguém poderia objetar: "ora, mas nós podemos pensar nisso como um caso limite da realidade!" Mas isso é uma palavra de ordem, não um argumento... Porque, antes de tudo, a demonstração do teorema depende essencialmente da topologia que é utilizada -- que se compromete com a forma específica dada ao conjunto S. E, além disso, seria preciso uma análise matemática para saber se realmente esse procedimento de ser "caso limite" realmente se aplica. É dizer, é preciso esquecer o teorema tal como ele e desenvolver uma teoria totalmente diferente e, só depois, ver como se dá essa relação.

A função da matemática para os economistas

A matemática tornou-se uma forma de intimidação retórica dos economistas. Podemos até dizer que essa é a sua grande função. Não é uma utilização meramente científica, é um uso da arrogância. É a fonte dos discursos "técnicos", em que são ditas mil bobagens aplaudidas, reverenciadas e temidas. Quem se atrever a discutir com a matemática?

A matemática é a ciência mais segura que existe. Se temos uma "demonstração" matemática, somos os donos da verdade. Ninguém discute que 2+2=4. Por que discutiriam as medidas que os burocratas tecnicistas advogam?

Em suma, a matemática tornou-se, na mão dos economistas, uma arma para autolegitimização de um discurso pseudocientífico.